Как решать уравнения с x: правила для 5–7 класса

5 класс: найди неизвестный компонент

В 5 классе уравнение решают по правилам компонентов. Посмотри, какое действие стоит в уравнении и чем в нём является x, и примени нужное правило:

• Неизвестное слагаемое: из суммы вычти известное слагаемое. x + 12 = 30, x = 30 − 12 = 18.
• Неизвестное уменьшаемое: к разности прибавь вычитаемое. x − 7 = 25, x = 25 + 7 = 32.
• Неизвестное вычитаемое: из уменьшаемого вычти разность. 45 − x = 18, x = 45 − 18 = 27.
• Неизвестный множитель: произведение раздели на известный множитель. 6 · x = 42, x = 42 : 6 = 7.
• Неизвестное делимое: частное умножь на делитель. x : 4 = 9, x = 9 · 4 = 36.
• Неизвестный делитель: делимое раздели на частное. 56 : x = 7, x = 56 : 7 = 8.

Ловушка здесь одна: вычитание и деление не переставляются. В уравнении 45 − x = 18 нельзя написать x = 18 − 45 или x = 45 + 18. Сначала назови компонент (x здесь вычитаемое), потом применяй правило.

Уравнение в два действия: сначала найди «кусок»

Если в уравнении два действия, не ищи x сразу. Найди сначала целый кусок с x, как один компонент, а потом x внутри него.

Пример: 3x + 5 = 20. Здесь 3x — неизвестное слагаемое: 3x = 20 − 5 = 15. Теперь 3x = 15 — это неизвестный множитель: x = 15 : 3 = 5. Проверка: 3 · 5 + 5 = 20.

Пример: (x + 4) · 3 = 27. Скобка целиком — неизвестный множитель: x + 4 = 27 : 3 = 9. Дальше x = 9 − 4 = 5.

Частая ошибка на этом шаге: найти 3x = 15 и записать в ответ 15. Ответ — это x, а не 3x, так что всегда делай последний шаг.

6–7 класс: перенос через знак равенства

С 6 класса появляется второй способ, и он работает для любого линейного уравнения, даже когда x стоит с обеих сторон. Правило одно: слагаемое можно перенести в другую часть уравнения, поменяв его знак.

1. Собери слагаемые с x слева, числа справа. Что переносишь, у того меняй знак.
2. Приведи подобные: сложи все x между собой и все числа между собой.
3. Раздели обе части на число при x.

Пример: 5x − 8 = 2x + 7.

5x − 2x = 7 + 8
    3x = 15
     x = 5

2x ушло влево и стало −2x, −8 ушло вправо и стало +8. Проверка: 5 · 5 − 8 = 17 и 2 · 5 + 7 = 17, части равны.

Корень бывает отрицательным: 2x + 11 = 5, значит, 2x = 5 − 11 = −6, x = −3. И дробным: 4x + 3 = 9, значит, 4x = 6, x = 6 : 4 = 1,5. Дробный корень записывают десятичной дробью или обыкновенной: 1,5 и 3/2 одно и то же.

Скобки: раскрой, потом как обычно

Число перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри. 2(x + 3) = 14 превращается в 2x + 6 = 14, а не в 2x + 3 = 14. Дальше по правилу переноса: 2x = 14 − 6 = 8, x = 4.

Если скобки с обеих сторон, раскрой обе, потом переноси: 3(x + 2) = 2(x + 5), то есть 3x + 6 = 2x + 10, 3x − 2x = 10 − 6, x = 4. Минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри: −2(x − 3) = −2x + 6.

Пропорция

Уравнение вида x : 4 = 9 : 12 — пропорция. Правило: произведение крайних членов равно произведению средних. Крайние — первый и последний, средние — два посередине: x · 12 = 4 · 9, значит, x = 36 : 12 = 3. Проверка: 3 : 4 и 9 : 12 — одно и то же отношение, обе дроби сокращаются до 3/4.

Как проверить корень

Подставь найденное число вместо x в исходное уравнение, а не в промежуточную строку, и посчитай обе части отдельно. Если они равны, корень верный. 5x − 8 = 2x + 7 при x = 5: слева 17, справа 17. Если бы получилось x = 3: слева 7, справа 13, значит, где-то ошибка, и чаще всего это знак при переносе.

Частые ошибки

• Не поменять знак при переносе. 5x − 8 = 2x + 7 превращается в 5x − 2x = 7 − 8. Всё, что перешло через знак равенства, меняет знак.
• Вычесть вместо того, чтобы разделить. 3x = 15 означает «три икса равны пятнадцати», x = 15 : 3 = 5, а не 15 − 3.
• Остановиться на полпути. Нашли 3x = 15 и записали ответ 15. Ответ — значение x.
• Раскрыть скобки не до конца. 2(x + 3) это 2x + 6, а не 2x + 3.
• Перепутать компоненты. 45 − x = 18 решают как x = 18 − 45 или x = 45 + 18. Здесь x — вычитаемое: x = 45 − 18 = 27.
• Потерять минус у корня. 2x = −6 даёт x = −3, а не 3. Подстановка это сразу покажет.